Formules intégrale partielle, de substitution, indéfinie et trigonométrique

formule intégrale

Nous étudierons les formules intégrales sous forme d'intégrales partielles, de substitution, d'indéfini et de trigonométrie dans la discussion ci-dessous. Écoute attentivement!

L'intégrale est une forme d'opération mathématique qui est l'inverse ou l'inverse des opérations dérivées et limites d'un certain nombre ou d'une certaine zone. Puis également divisé en deux, à savoir intégrale et définie intégrale.

Une intégrale indéfinie fait référence à la définition d'une intégrale comme l'inverse (inverse) de la dérivée, tandis qu'une intégrale est définie comme la somme d'une zone délimitée par une certaine courbe ou équation.

Integral est utilisé dans divers domaines. Par exemple, en mathématiques et en ingénierie, des intégrales sont utilisées pour calculer le volume d'un objet en rotation et l'aire sur une courbe.

Dans le domaine de la physique, l'utilisation d'intégrales est utilisée pour calculer et analyser des circuits de courants électriques, de champs magnétiques et autres.

Formule intégrale générale

Supposons qu'il existe une simple fonction axn. L'intégrale de la fonction est

formule intégrale

Information:

  • k: coefficient
  • x: variable
  • n: la puissance / le degré de la variable
  • C: constante

Supposons qu'il existe une fonction f (x). Si nous voulons déterminer l'aire délimitée par le graphe f (x), alors elle peut être déterminée par

où a et b sont les lignes verticales ou les limites de zone calculées à partir de l'axe des x. Supposons que l'entier de f (x) soit noté F (x) ou s'il est écrit

formule intégrale

puis

formule intégrale

Information:

  • a, b: limites supérieure et inférieure de l'intégrale
  • f (x): équation de courbe
  • F (x): l'aire sous la courbe f (x)

Propriétés intégrales

Certaines des propriétés intégrales sont les suivantes:

Intégrale indéfinie

L'intégrale indéfinie est l'opposé de la dérivée. Vous pouvez l'appeler anti-dérivé ou primitif.

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L'intégrale indéfinie d'une fonction entraîne une nouvelle fonction qui n'a pas de valeur fixe car il y a encore des variables dans la nouvelle fonction. La forme générale de l'intégrale l'est bien sûr.

Formule intégrale indéfinie:

Information:

  • f (x): équation de courbe
  • F (x): l'aire sous la courbe f (x)
  • C: constante

Exemples d'intégrales indéfinies:

Substitution intégrale

Certains problèmes ou intégrales d'une fonction peuvent être résolus par la formule intégrale de substitution s'il y a une multiplication de la fonction avec l'une des fonctions étant un dérivé d'une autre fonction.

Considérez les exemples suivants:

formule intégrale

On suppose que U = ½ x2 + 3 alors dU / dx = x

Pour que x dx = dU

L'équation intégrale de la substitution devient

= -2 cos U + C = -2 cos (½ x2 + 3) + C

Exemple

disons 3x2 + 9x -1 comme u

de sorte que du = 6x + 9

2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

formule intégrale

puis nous remplaçons à nouveau u par 3x2 + 9x -1 donc nous obtenons la réponse:

Intégrale partielle

Les formules intégrales partielles sont généralement utilisées pour résoudre l'intégrale du produit de deux fonctions. En général, les intégrales partielles sont définies avec

formule intégrale

Information:

  • U, V: fonction
  • dU, dV: dérivée de la fonction U et dérivée de la fonction V

Exemple

Quel est le résultat de ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx?

Solution:

Exemple

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

ensuite

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = - ⅓ cos (3x + 2)

Pour que

∫ u dv = uv - ∫v du

∫ u dv = (3x + 2). (- ⅓ cos (3x + 2)) - ∫ (- ⅓ cos (3x + 2)). 3 dx

∫ u dv = - (x + 2/3 ). cos (3x + 2) + ⅓. ⅓ sin (3x + 2) + C

∫ u dv = - (x + 2/3 ). cos (3x + 2) +1 / 9 sin (3x + 2) + C

Ainsi, le résultat de ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx est - (x + 2/3 ). cos (3x + 2) +1 / 9 sin (3x + 2) + C.

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Intégrale trigonométrique

Les formules intégrales peuvent également être utilisées sur des fonctions trigonométriques. Le fonctionnement des intégrales trigonométriques est réalisé avec le même concept d'intégrales algébriques qui est l'inverse de la dérivation. jusqu'à ce qu'il puisse être conclu que:

formule intégrale

Détermination de l'équation de la courbe

Dégradés et équations tangents à la courbe en un point. Si y = f (x), la pente de la tangente à la courbe en tout point de la courbe est y '= = f' (x). Par conséquent, si la pente de la tangente est connue, l'équation de la courbe peut être déterminée de la manière suivante.

y = ʃ f '(x) dx = f (x) + c

Si vous connaissez l'un des points de la courbe, vous pouvez trouver la valeur de c pour que l'équation de la courbe puisse être déterminée.

Exemple

La pente de la tangente à la courbe au point (x, y) est 2x - 7. Si la courbe passe par le point (4, –2), trouvez l'équation de la courbe.

Répondre:

f '(x) = = 2x - 7

y = f (x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 - 7x + c.

Parce que la courbe passant par le point (4, –2)

alors: f (4) = –2 ↔ 42 - 7 (4) + c = –2

–12 + c = –2

c = 10

Ainsi, l'équation de la courbe est y = x2 - 7x + 10.

Ainsi, la discussion concernant plusieurs formules intégrales, espérons-le, est utile.