Induction mathématique: concepts matériels, exemples de questions et discussion

Induction mathematique

L'induction mathématique est une méthode déductive utilisée pour prouver des déclarations vraies ou fausses.

Vous devez avoir étudié l'intégration en mathématiques au lycée. Comme nous le savons, l'induction mathématique est une extension de la logique mathématique.

Dans son application, la logique mathématique est utilisée pour étudier des déclarations fausses ou vraies, équivalentes ou négatives et tirer des conclusions.

Concepts de base

L'induction mathématique est une méthode déductive utilisée pour prouver des déclarations vraies ou fausses.

Dans le processus, des conclusions sont tirées sur la base de la validité des déclarations généralement acceptées afin que des déclarations spécifiques puissent également être vraies. De plus, une variable d'induction mathématique est également considérée comme un membre de l'ensemble naturel des nombres.

Fondamentalement, il y a trois étapes dans l'induction mathématique afin de prouver si une formule ou un énoncé peut être vrai ou vice versa.

Ces étapes sont:

  • Prouvez qu'une déclaration ou une formule est vraie pour n = 1.
  • Supposons qu'une déclaration ou une formule est vraie pour n = k.
  • Prouvez qu'une instruction ou une formule est vraie pour n = k + 1.

À partir des étapes ci-dessus, nous pouvons supposer qu'une instruction doit être vérifiable pour n = k et n = k + 1.

Induction mathematique

Types d'induction mathématique

Il existe différents types de problèmes mathématiques qui peuvent être résolus par induction mathématique. Par conséquent, l'induction mathématique peut être divisée en trois types, à savoir les séries, la division et l'inégalité.

1. Série

Dans ce type de série, le problème d'induction mathématique se retrouve généralement sous forme d'addition successive.

Ainsi, dans le problème des séries, la vérité doit être prouvée dans le premier terme, le k-terme et le th-terme (k + 1).

2. Division

Les types d'induction mathématique de division peuvent être trouvés dans divers problèmes qui utilisent les phrases suivantes:

  • a est divisible par b
  • facteur b d'un
  • b divise a
  • a multiples b

Ces quatre caractéristiques indiquent que l'énoncé peut être résolu en utilisant une induction mathématique de type division.

La chose à retenir est que si le nombre a est divisible par b alors a = bm où m est un entier.

3. Inégalité

Le type d'inégalité est indiqué par un signe supérieur ou inférieur à celui de l'énoncé.

Certaines propriétés sont souvent utilisées pour résoudre des types d'inégalités d'induction mathématique. Ces caractéristiques sont:

  • a> b> c ⇒ a> c ou a <b <c ⇒ a <c
  • a 0 ⇒ ac <bc ou a> b et c> 0 ⇒ ac> bc
  • a <b ⇒ a + c <b + c ou a> b ⇒ a + c> b + c

Original text


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Exemple de problèmes d'induction mathématique

Voici un exemple de problème afin que vous puissiez mieux comprendre comment résoudre une preuve de formule à l'aide de l'induction mathématique.

Rangée

Exemple 1

Prouvez 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1), pour tous les n nombres naturels.

Répondre:

P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)

On prouvera que n = (n) est vrai pour tout n ∈ N

Première étape :

On montrera que n = (1) est correct

2 = 1 (1 + 1)

Donc, P (1) est correct

Deuxième étape :

Supposons que n = (k) est vrai, c'est-à-dire

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Troisième étape

On montrera que n = (k + 1) est également vrai, c'est-à-dire

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

D'après les hypothèses:

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)

Ajoutez les deux côtés avec u k + 1 :

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Donc, n = (k + 1) est correct

Exemple 2

Utiliser l'induction mathématique pour prouver les équations

Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 pour tous les entiers n ≥ 1.

Répondre:

Première étape :

On montrera que n = (1) est correct

S1 = 1 = 12

Deuxième étape

Supposons que n = (k) est vrai, c'est-à-dire

1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2

Troisième étape

Prouvez que n = (k + 1) est vrai

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

rappelez-vous que 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2

puis

k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2

(k + 1) 2 = (k + 1) 2

alors l'équation ci-dessus est prouvée

Exemple 3

Montrer que 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 est vrai, pour tous les n nombres naturels

Répondre:

Première étape :

On montrera que n = (1) est correct

1 = 12

Donc, P (1) est correct

Deuxième étape :

Supposons que n = (k) est vrai, c'est-à-dire

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.

Troisième étape :

On montrera que n = (k + 1) est également vrai, c'est-à-dire

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

D'après les hypothèses:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2

Ajoutez les deux côtés avec u k + 1 :

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Donc, n = (k + 1) est également vrai

Division

Exemple 4

Montrer que n3 + 2n est divisible par 3, pour tout n nombres naturels

Répondre:

Première étape :

On montrera que n = (1) est correct

13 + 2,1 = 3 = 3,1

Donc, n = (1) est correct

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Deuxième étape :

Supposons que n = (k) est vrai, c'est-à-dire

k3 + 2k = 3m, k ∈ NN

Troisième étape:

On montrera que n = (k + 1) est également vrai, c'est-à-dire

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 m + 3 (k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)

Puisque m est un entier et k est un nombre naturel, (m + k2 + k + 1) est un entier.

Supposons p = (m + k2 + k + 1), alors

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, où p ∈ ZZ

Donc, n = (k + 1) est correct

Inégalité

Exemple 5

Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 2 est valide

3n> 1 + 2n

Répondre:

Première étape :

On montrera que n = (2) est correct

32 = 9> 1 + 2,2 = 5

Donc, P (1) est correct

Deuxième étape :

Supposons que n = (k) est vrai, c'est-à-dire

3k> 1 + 2k, k ≥ 2

Troisième étape:

On montrera que n = (k + 1) est également vrai, c'est-à-dire

3k + 1> 1 + 2 (k + 1)

3k + 1 = 3 (3k)

3k + 1> 3 (1 + 2k) (car 3k> 1 + 2k)

3k + 1 = 3 + 6k

3k + 1> 3 + 2k (car 6k> 2k)

3k + 1 = 1 + 2k + 2

3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)

Donc, n = (k + 1) est également vrai

Exemple 6

Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 4 est valide

(n + 1)! > 3n

Répondre:

Première étape :

On montrera que n = (4) est correct

(4 + 1)! > 34

côté gauche: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

côté droit: 34 = 81

Donc, n = (4) est correct

Deuxième étape :

Supposons que n = (k) est vrai, c'est-à-dire

(k + 1)! > 3k, k ≥ 4

Troisième étape:

On montrera que n = (k + 1) est également vrai, c'est-à-dire

(k + 1 + 1)! > 3k + 1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!

(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!

(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (car (k + 1)!> 3k)

(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (car k + 2> 3)

(k + 1 + 1)! = 3k + 1

Donc, n = (k + 1) est également vrai